有界杆上的温度分布 | 分离变量法（五）| 偏微分方程（十七）
长为l的导热细杆，杆身侧面绝热，内部无热源。杆的一段绝热，杆的另一端与外界温度保持零度的介质自由热交换，杆的初始温度已知，求此有界杆上的温度分布。
解：设杆上各点的温度为u(t,x)u(t,x)，则u满足定解问题
{∂u∂t=a2∂2u∂x2,t>0,0<x<l∂u∂x∣x=0=0,(∂u∂x+γu)∣x=1=0u∣t=0=φ(x)(12)
begin{cases}
frac{partial u}{partial t}=a^2frac{partial^2u}{partial x^2},quad t>0,0<x<l \
frac{partial u}{partial x}|_{x=0}=0, quad (frac{partial u}{partial x}+gamma u)|_{x=1}=0 \
u|_{t=0}=varphi(x) tag{12}
end{cases}
其中，γ=hkgamma = frac{h}{k}，k为杆身的热传导系数，h为杆端与外界的热交换系数。
设u(t,x)=T(t)X(x)u(t,x)=T(t)X(x)，代入方程和边界条件，分离得固有值问题
{X′′(x)+λX(x)=0,0<x<l,X′(0)=X′(l)+γX(l)=0
begin{cases}
X''(x)+lambda X(x)=0, quad 0<x<l, \
X'(0)=X'(l)+gamma X(l)=0
end{cases}
和常微分方程
T′(t)+a2λT(t)=0
T'(t)+a^2lambda T(t)=0
上述固有值问题中的方程时S-L型的，k(x)≡1,q(x)≡0,ρ(x)≡1k(x)equiv 1,q(x)equiv 0,rho(x)equiv 1。两端x=0,x=lx=0,x=l均为方程的常点，分别配以第II、III类齐次边界条件。由S-L定理得，固有值λ>0lambda>0。
设λ=ω2>0lambda=omega^2>0，解得
X(x)=Acosωx+Bsinωx
X(x)=Acosomega x+Bsinomega x
代入x=0x=0端边界条件
X′(0)=Bω=0
X'(0)=Bomega =0
有B=0B=0，代入x=lx=l端边界条件
X′(l)+γX(l)=−Aωsinωl+Aγcosωl=0
X'(l)+gamma X(l)=-Aomega sinomega l+Agamma cosomega l=0
得
tanωl=γω
tanomega l=frac{gamma}{omega}
由图可见，此超越方程有无穷多个正实根。记第n个正实根为ωnomega_n，则得固有值
λn=wn2,n=1,2,⋯
lambda_n=w_n^2,quad n=1,2,cdots
和相应的固有函数
Xn(x)=cosωnx
X_n(x)=cosomega_nx
此固有函数的模平方为
∣∣Xn(x)∣∣2=∫0lcos2ωnxdx=12∫0l(1+cos2ωnx)dx=12(l+γωn2+γ2)
||X_n(x)||^2=int_0^lcos^2omega_nxdx=frac{1}{2}int_0^l(1+cos2omega_nx)dx
=frac{1}{2}(l+frac{gamma}{omega_n^2+gamma^2})
由T(t)T(t)的方程，解得相应于λn=ωn2lambda_n=omega_n^2的
Tn(t)=e−a2ωn2t
T_n(t)=e^{-a^2omega^2_nt}
设u(t,x)=∑n=1+∞Cne−a2ωn2tcosωnxu(t,x)=sum_{n=1}^{+infty}C_ne^{-a^2omega_n^2t}cosomega_nx代入（12）的初始条件
u∣t=0=∑n=1+∞Cncoswnx=φ(x)
u|_{t=0}=sum_{n=1}^{+infty}C_ncosw_nx=varphi(x)
这是φ(x)varphi(x)按固有函数系{cosωnx}{cosomega_nx}的展开式，由S-L定理中公式（11）得
Cn=1∣∣Xn(x)∣∣2∫0lφ(x)cosωnxdx=2l+γwn2+γ2∫0lφ(x)cosωnxdx
C_n=frac{1}{||X_n(x)||^2}int_0^lvarphi(x)cosomega_nxdx=frac{2}{l+frac{gamma}{w_n^2+gamma^2}}int_0^lvarphi(x)cosomega_nxdx
最后得问题（12）式的形式解
u(t,x)=∑n=1+∞[12(l+γωn2+γ2)]−1∫0lφ(ξ)cosωnξdξe−a2wn2tcoswnx
u(t,x)=sum_{n=1}^{+infty}[frac{1}{2}(l+frac{gamma}{omega_n^2+gamma^2})]^{-1}int_0^lvarphi(xi)cosomega_nxi dxi e^{-a^2wn^2t}cosw_nx