有界杆上的温度分布 | 分离变量法(五)| 偏微分方程(十七)

长为l的导热细杆,杆身侧面绝热,内部无热源。杆的一段绝热,杆的另一端与外界温度保持零度的介质自由热交换,杆的初始温度已知,求此有界杆上的温度分布。

:设杆上各点的温度为u(t,x)u(t,x),则u满足定解问题
{∂u∂t=a2∂2u∂x2,t>0,0<x<l∂u∂x∣x=0=0,(∂u∂x+γu)∣x=1=0u∣t=0=φ(x)(12)
begin{cases}
frac{partial u}{partial t}=a^2frac{partial^2u}{partial x^2},quad t>0,0<x<l \
frac{partial u}{partial x}|_{x=0}=0, quad (frac{partial u}{partial x}+gamma u)|_{x=1}=0 \
u|_{t=0}=varphi(x) tag{12}
end{cases}

u(t,x)=T(t)X(x)u(t,x)=T(t)X(x)

λ=ω2>0lambda=omega^2>0