在这里插入图片描述
这只讨论单个非线性方程f(x)=0f(x)=0

方程的根可能是实数根也可能是复(数)根,可能是单根也可能是多重根。关于单根和重根,有如下定义:

定义1:对于方程f(x)=0f(x)=0

假设f(x)f(x)有一单根x∗x^*,则f(x)f(x)可写成f(x)=(x−x∗)g(x)f(x)=(x-x^*)g(x)

对于多项式,其根的个数与方程的次数相同;对于超越方程,其根可能是一个、几个或无穷多个,也可能不存在。因此在解方程时,有必要弄清楚方程根的性质。

1. 根的分布区间

定义2:若函数f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上连续,且f(a)⋅f(b)<0f(a)·f(b)<0

2. 二分搜索法

将根的分布区间划分成两个部分,而方程的根必定会落在其中的一个部分或者就在划分点上,再对其中包含方程根的一个部分重复上述划分过程,从而不断缩小根的分布区间,直到根的分布区间的长度达到指定的精度要求为止。此时,根的分布区间内的任何一点,都是方程根的近似值。如果将根的分布区间划分成两个相等的部分,即将区间折半,这种二分法为对分法。

一般情况下,使用二分搜索法求方程的根,为了不漏掉方程的某些根,应该满足下面定理条件。

定理1:对实函数方程f(x)=0f(x)=0

  1. 用对分法求方程的单根

设方程f(x)=0f(x)=0

1)第一次对分

(1)确定区间中点:将根的初始分布区间[a0,c0][a_0,c_0]

(2)确定含根区间:若f(a0)⋅f(b0)=0f(a_0)·f(b_0)=0

(3)确定区间大小:[c1−a1]=[c0−a0]/2[c_1-a_1]=[c_0-a_0]/2

(4)判断根的误差:取根的近似值为x0=b0=(a0+c0)/2x_0=b_0=(a_0+c_0)/2

2)第二次对分

(1)确定区间中点:将根的初始分布区间[a1,c1][a_1,c_1]

(2)确定含根区间:若f(a1)⋅f(b1)=0f(a_1)·f(b_1)=0

(3)确定区间大小:[c2−a2]=[c0−a0]/22[c_2-a_2]=[c_0-a_0]/2^2

(4)判断根的误差:取根的近似值为x1=b1=(a1+c1)/2x_1=b_1=(a_1+c_1)/2

3)继续对分计算
∣en−1∣=∣xn−1−x∗∣≤[cn−an]=[c0−a0]2n(1)
|e_{n-1}|=|x_{n-1}-x^*|leq [c_n-a_n]=frac{[c_0-a_0]}{2^n} tag{1}

根据(1)式,可以确定满足精度要求的最小对分次数为:
n≥lg(c0−a0)−lgϵlg2
ngeq frac{lg(c_0-a_0)-lgepsilon}{lg2}

  1. 用二分法搜索方程的单实根

二分搜索法除了可用于求指定区间内(a,c)(a,c)的根以外,还可用于将一个近似根逐步精确化;也可用于求方程f(x)=0f(x)=0

自区间(a,c)(a,c)的一个左端点a开始,并令a0=aa_0=a

(1)若f(a0)⋅f(c0)<0f(a_0)·f(c_0)<0

(2)若f(a0)⋅f(c0)>0f(a_0)·f(c_0)>0

这样,一个步长,一个步长地向右搜索,直至超过区间右端点cc为止,即可找到方程定义区间(a,c)(a,c)内所有单重实根。

显然,恰当地选择步长h是十分重要的。应使在所选择的一个步长内只有一个根,太大则会丢掉所要找的根,太小则会增加计算量。

二分搜索法除用于求方程的跟之外,实际应用中,常用于查表,即在一组按大小顺序排列的数据中,寻找所需要的那个数。它比用顺序查表发的查表效率大大提高。

在这里插入图片描述
这只讨论单个非线性方程f(x)=0f(x)=0

方程的根可能是实数根也可能是复(数)根,可能是单根也可能是多重根。关于单根和重根,有如下定义:

定义1:对于方程f(x)=0f(x)=0

假设f(x)f(x)有一单根x∗x^*,则f(x)f(x)可写成f(x)=(x−x∗)g(x)f(x)=(x-x^*)g(x)

对于多项式,其根的个数与方程的次数相同;对于超越方程,其根可能是一个、几个或无穷多个,也可能不存在。因此在解方程时,有必要弄清楚方程根的性质。

1. 根的分布区间

定义2:若函数f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上连续,且f(a)⋅f(b)<0f(a)·f(b)<0

2. 二分搜索法

将根的分布区间划分成两个部分,而方程的根必定会落在其中的一个部分或者就在划分点上,再对其中包含方程根的一个部分重复上述划分过程,从而不断缩小根的分布区间,直到根的分布区间的长度达到指定的精度要求为止。此时,根的分布区间内的任何一点,都是方程根的近似值。如果将根的分布区间划分成两个相等的部分,即将区间折半,这种二分法为对分法。

一般情况下,使用二分搜索法求方程的根,为了不漏掉方程的某些根,应该满足下面定理条件。

定理1:对实函数方程f(x)=0f(x)=0

  1. 用对分法求方程的单根

设方程f(x)=0f(x)=0

1)第一次对分

(1)确定区间中点:将根的初始分布区间[a0,c0][a_0,c_0]

(2)确定含根区间:若f(a0)⋅f(b0)=0f(a_0)·f(b_0)=0

(3)确定区间大小:[c1−a1]=[c0−a0]/2[c_1-a_1]=[c_0-a_0]/2

(4)判断根的误差:取根的近似值为x0=b0=(a0+c0)/2x_0=b_0=(a_0+c_0)/2

2)第二次对分

(1)确定区间中点:将根的初始分布区间[a1,c1][a_1,c_1]

(2)确定含根区间:若f(a1)⋅f(b1)=0f(a_1)·f(b_1)=0

(3)确定区间大小:[c2−a2]=[c0−a0]/22[c_2-a_2]=[c_0-a_0]/2^2

(4)判断根的误差:取根的近似值为x1=b1=(a1+c1)/2x_1=b_1=(a_1+c_1)/2

3)继续对分计算
∣en−1∣=∣xn−1−x∗∣≤[cn−an]=[c0−a0]2n(1)
|e_{n-1}|=|x_{n-1}-x^*|leq [c_n-a_n]=frac{[c_0-a_0]}{2^n} tag{1}

根据(1)式,可以确定满足精度要求的最小对分次数为:
n≥lg(c0−a0)−lgϵlg2
ngeq frac{lg(c_0-a_0)-lgepsilon}{lg2}

  1. 用二分法搜索方程的单实根

二分搜索法除了可用于求指定区间内(a,c)(a,c)的根以外,还可用于将一个近似根逐步精确化;也可用于求方程f(x)=0f(x)=0

自区间(a,c)(a,c)的一个左端点a开始,并令a0=aa_0=a

(1)若f(a0)⋅f(c0)<0f(a_0)·f(c_0)<0

(2)若f(a0)⋅f(c0)>0f(a_0)·f(c_0)>0

这样,一个步长,一个步长地向右搜索,直至超过区间右端点cc为止,即可找到方程定义区间(a,c)(a,c)内所有单重实根。

显然,恰当地选择步长h是十分重要的。应使在所选择的一个步长内只有一个根,太大则会丢掉所要找的根,太小则会增加计算量。

二分搜索法除用于求方程的跟之外,实际应用中,常用于查表,即在一组按大小顺序排列的数据中,寻找所需要的那个数。它比用顺序查表发的查表效率大大提高。

在这里插入图片描述
这只讨论单个非线性方程f(x)=0f(x)=0

方程的根可能是实数根也可能是复(数)根,可能是单根也可能是多重根。关于单根和重根,有如下定义:

定义1:对于方程f(x)=0f(x)=0

假设f(x)f(x)有一单根x∗x^*,则f(x)f(x)可写成f(x)=(x−x∗)g(x)f(x)=(x-x^*)g(x)

对于多项式,其根的个数与方程的次数相同;对于超越方程,其根可能是一个、几个或无穷多个,也可能不存在。因此在解方程时,有必要弄清楚方程根的性质。

1. 根的分布区间

定义2:若函数f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上连续,且f(a)⋅f(b)<0f(a)·f(b)<0

2. 二分搜索法

将根的分布区间划分成两个部分,而方程的根必定会落在其中的一个部分或者就在划分点上,再对其中包含方程根的一个部分重复上述划分过程,从而不断缩小根的分布区间,直到根的分布区间的长度达到指定的精度要求为止。此时,根的分布区间内的任何一点,都是方程根的近似值。如果将根的分布区间划分成两个相等的部分,即将区间折半,这种二分法为对分法。

一般情况下,使用二分搜索法求方程的根,为了不漏掉方程的某些根,应该满足下面定理条件。

定理1:对实函数方程f(x)=0f(x)=0

  1. 用对分法求方程的单根

设方程f(x)=0f(x)=0

1)第一次对分

(1)确定区间中点:将根的初始分布区间[a0,c0][a_0,c_0]

(2)确定含根区间:若f(a0)⋅f(b0)=0f(a_0)·f(b_0)=0

(3)确定区间大小:[c1−a1]=[c0−a0]/2[c_1-a_1]=[c_0-a_0]/2

(4)判断根的误差:取根的近似值为x0=b0=(a0+c0)/2x_0=b_0=(a_0+c_0)/2

2)第二次对分

(1)确定区间中点:将根的初始分布区间[a1,c1][a_1,c_1]

(2)确定含根区间:若f(a1)⋅f(b1)=0f(a_1)·f(b_1)=0

(3)确定区间大小:[c2−a2]=[c0−a0]/22[c_2-a_2]=[c_0-a_0]/2^2

(4)判断根的误差:取根的近似值为x1=b1=(a1+c1)/2x_1=b_1=(a_1+c_1)/2

3)继续对分计算
∣en−1∣=∣xn−1−x∗∣≤[cn−an]=[c0−a0]2n(1)
|e_{n-1}|=|x_{n-1}-x^*|leq [c_n-a_n]=frac{[c_0-a_0]}{2^n} tag{1}

根据(1)式,可以确定满足精度要求的最小对分次数为:
n≥lg(c0−a0)−lgϵlg2
ngeq frac{lg(c_0-a_0)-lgepsilon}{lg2}

  1. 用二分法搜索方程的单实根

二分搜索法除了可用于求指定区间内(a,c)(a,c)的根以外,还可用于将一个近似根逐步精确化;也可用于求方程f(x)=0f(x)=0

自区间(a,c)(a,c)的一个左端点a开始,并令a0=aa_0=a

(1)若f(a0)⋅f(c0)<0f(a_0)·f(c_0)<0

(2)若f(a0)⋅f(c0)>0f(a_0)·f(c_0)>0

这样,一个步长,一个步长地向右搜索,直至超过区间右端点cc为止,即可找到方程定义区间(a,c)(a,c)内所有单重实根。

显然,恰当地选择步长h是十分重要的。应使在所选择的一个步长内只有一个根,太大则会丢掉所要找的根,太小则会增加计算量。

二分搜索法除用于求方程的跟之外,实际应用中,常用于查表,即在一组按大小顺序排列的数据中,寻找所需要的那个数。它比用顺序查表发的查表效率大大提高。

在这里插入图片描述
这只讨论单个非线性方程f(x)=0f(x)=0

方程的根可能是实数根也可能是复(数)根,可能是单根也可能是多重根。关于单根和重根,有如下定义:

定义1:对于方程f(x)=0f(x)=0

假设f(x)f(x)有一单根x∗x^*,则f(x)f(x)可写成f(x)=(x−x∗)g(x)f(x)=(x-x^*)g(x)

对于多项式,其根的个数与方程的次数相同;对于超越方程,其根可能是一个、几个或无穷多个,也可能不存在。因此在解方程时,有必要弄清楚方程根的性质。

1. 根的分布区间

定义2:若函数f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上连续,且f(a)⋅f(b)<0f(a)·f(b)<0

2. 二分搜索法

将根的分布区间划分成两个部分,而方程的根必定会落在其中的一个部分或者就在划分点上,再对其中包含方程根的一个部分重复上述划分过程,从而不断缩小根的分布区间,直到根的分布区间的长度达到指定的精度要求为止。此时,根的分布区间内的任何一点,都是方程根的近似值。如果将根的分布区间划分成两个相等的部分,即将区间折半,这种二分法为对分法。

一般情况下,使用二分搜索法求方程的根,为了不漏掉方程的某些根,应该满足下面定理条件。

定理1:对实函数方程f(x)=0f(x)=0

  1. 用对分法求方程的单根

设方程f(x)=0f(x)=0

1)第一次对分

(1)确定区间中点:将根的初始分布区间[a0,c0][a_0,c_0]

(2)确定含根区间:若f(a0)⋅f(b0)=0f(a_0)·f(b_0)=0

(3)确定区间大小:[c1−a1]=[c0−a0]/2[c_1-a_1]=[c_0-a_0]/2

(4)判断根的误差:取根的近似值为x0=b0=(a0+c0)/2x_0=b_0=(a_0+c_0)/2

2)第二次对分

(1)确定区间中点:将根的初始分布区间[a1,c1][a_1,c_1]

(2)确定含根区间:若f(a1)⋅f(b1)=0f(a_1)·f(b_1)=0

(3)确定区间大小:[c2−a2]=[c0−a0]/22[c_2-a_2]=[c_0-a_0]/2^2

(4)判断根的误差:取根的近似值为x1=b1=(a1+c1)/2x_1=b_1=(a_1+c_1)/2

3)继续对分计算
∣en−1∣=∣xn−1−x∗∣≤[cn−an]=[c0−a0]2n(1)
|e_{n-1}|=|x_{n-1}-x^*|leq [c_n-a_n]=frac{[c_0-a_0]}{2^n} tag{1}

根据(1)式,可以确定满足精度要求的最小对分次数为:
n≥lg(c0−a0)−lgϵlg2
ngeq frac{lg(c_0-a_0)-lgepsilon}{lg2}

  1. 用二分法搜索方程的单实根

二分搜索法除了可用于求指定区间内(a,c)(a,c)的根以外,还可用于将一个近似根逐步精确化;也可用于求方程f(x)=0f(x)=0

自区间(a,c)(a,c)的一个左端点a开始,并令a0=aa_0=a

(1)若f(a0)⋅f(c0)<0f(a_0)·f(c_0)<0

(2)若f(a0)⋅f(c0)>0f(a_0)·f(c_0)>0

这样,一个步长,一个步长地向右搜索,直至超过区间右端点cc为止,即可找到方程定义区间(a,c)(a,c)内所有单重实根。

显然,恰当地选择步长h是十分重要的。应使在所选择的一个步长内只有一个根,太大则会丢掉所要找的根,太小则会增加计算量。

二分搜索法除用于求方程的跟之外,实际应用中,常用于查表,即在一组按大小顺序排列的数据中,寻找所需要的那个数。它比用顺序查表发的查表效率大大提高。